Alimentation en eau d’un gratte-ciel

► Données

● Pression atmosphérique à la surface de l'eau : P₀ = 1 013 hPa.
● Masse volumique de l'eau : ρ_eau = 1 000 kg·m^–3.

La figure ci-dessous schématise un gratte-ciel de hauteur H = 150 m. L’axe (Oz) est vertical, dirigé vers le haut, et le point O est au pied de l’immeuble.

Un réservoir d’eau contient une hauteur d’eau h, A est un point de la surface de l’eau, à l’altitude H − h. La hauteur d’eau h restant constante, la vitesse v_A de l’eau en ce point est nulle. B, C et D désignent trois robinets, dont la section de sortie a pour aire s = 11 mm², aux altitudes respectives z_B = 0 m, z_C = H − 2h et z_D = H. L’eau est assimilée à un fluide incompressible et non visqueux. La pression atmosphérique P₀ = 1,0 × 10⁵ Pa est supposée uniforme dans l’air.
Lors de l’écoulement de l’eau par un robinet, on se place en régime permanent.

1. On ouvre le robinet B. C et D restent fermés.

a. Par application de la relation de Bernoulli entre A et B, exprimer la vitesse de sortie v_B de l’eau par ce robinet en fonction de H, h et g. En déduire le débit D_V,B sortant du robinet B en fonction de H, h, g et s.

b. On voudrait remplir un seau de volume V = 5,0 L en une durée Δt_B = 10 s.
Calculer la valeur de h.

c. Vérifier cette valeur en utilisant le simulateur.

2. On ouvre le robinet C et on ferme B et D.

a. Grâce au simulateur, déterminer le débit D_V,C de l’eau sortant du robinet C.

b. En déduire la durée de remplissage Δt_C du seau de volume V = 5,0 L.

3. On ouvre le robinet D et on ferme B et C.
On suppose que l’eau s’écoule en D.

a. Par application de la relation de Bernoulli, exprimer v_D² en fonction de ρ, h et g.

b. Que peut-on en conclure ?

Exercice 35 p. 420 de Physique chimie Terminale, Éditions Hatier, 2020.